阶梯函数阶跃函数和阶跃响应

娱乐新闻 2020-05-24174未知admin

  §6-5 阶跃函数和阶跃响应 - 在上一节的讨论中, 在上一节的讨论中,我们看到直流一阶电中的各种 开关, 开关,可以起到将直流电压源和电流源接入电或脱离电 的作用, 的作用,这种作用可以描述为分段恒定对电的激 励。 随着电规模的增大和计算工作量增加, 随着电规模的增大和计算工作量增加,有必要引入 阶跃函数来描述这些物理现象, 阶跃函数来描述这些物理现象,以便更好地建立电的物 理模型和数学模型,也有利于用计算机和设计电。 理模型和数学模型,也有利于用计算机和设计电。 一、阶跃函数 0 单位阶跃函数ε(t)的定义为 ε (t ) = 的定义为 1 t 0 t 0 (6 26) 波形如图(a)所示。 跃变到1。当跃变量是k 波形如图 所示。当t=0时,ε(t)从0跃变到 。当跃变量是 所示 时 从 跃变到 来表示, 个单位时,可以用阶跃函数 个单位时,可以用阶跃函数kε(t)来表示,其波形如图 所 来表示 其波形如图(b)所 示。当跃变发生在t=t0时刻,可以用延迟阶跃函数 ε(t-to) 表 当跃变发生在 时刻, 所示。 表示t0时 示,其波形如图(c)所示。函数ε(-t)表示 时,ε(-t)=1,t0 其波形如图 所示 表示 , 时,ε(-t)=0,如图(d)所示。 ,如图 所示。 所示 图6-30 阶跃函数 - 当直流电压源或直流电流源通过一个开关的作用 到某个电时, 到某个电时,有时可以表示为一个阶跃电压或阶跃电流 作用于该电。 作用于该电。 所示开关电, 例如图 (a)所示开关电,就其端口所产生的电压波形 所示开关电 u(t)来说,等效于图(b)所示的阶跃电压源 0ε(t)。 来说,等效于图 所示的阶跃电压源 所示的阶跃电压源U 来说 。 (c)所示开关电 就其端口所产生的电流波形i(t)来 所示开关电, 图(c)所示开关电,就其端口所产生的电流波形i(t)来 所示的阶跃电流源I 说,等效于图(d)所示的阶跃电流源 0ε(t)。 等效于图 所示的阶跃电流源 。 图6-31 用阶跃电源来表示开关的作用 - 图6-31 用阶跃电源来表示开关的作用 - 与此相似, 所示电等效于图(f) 与此相似,图(e) 所示电等效于图 所示阶跃电压 源 U0ε (-t);图(g) 所示电等效于图6-31(h) 所示阶跃电 ; 所示电等效于图 - 流源I 流源 0ε(-t);引入阶跃电压源和阶跃电流源,可以省去电 ;引入阶跃电压源和阶跃电流源,阶梯函数 中的开关,使电的研究更加方便, 中的开关,使电的研究更加方便,下面举例加以说 明。 电如图6- 所示, ≥ 时电感电流 时电感电流i 。 例6-14 电如图 -32(a)所示,求t≥0时电感电流 L(t)。 所示 图6-32 电中的阶跃电压源10 解:图(a)电中的阶跃电压源 ε(-t)V,等效于开关 1将 电中的阶跃电压源 ,等效于开关S 10V电压源接入电;阶跃电流源2ε(t)A,等效于开关 电压源接入电;阶跃电流源 电压源接入电 , S2将2A电流源接入电,如图(b)所示。就电感电流来 电流源接入电,如图 所示。 电流源接入电 所示 是等效的。 说,图(a)和(b)是等效的。 和 是等效的 根据图(b)电,用三要素法容易求得电感电流 根据图 电,用三要素法容易求得电感电流iL(t)。 电 。 图6-32 1. 计算电感电流的初始值 L(0+) 计算电感电流的初始值i 10V iL (0 + ) = iL (0 ) = = 0.5A (10 + 10) 2. 计算电感电流的稳态值 L(∞) 计算电感电流的稳态值i ∞ 10 iL (∞) = × 2A = 1A 10 + 10 图6-32 3. 计算电的时间τ L 0.1H τ= = = 0.005s = 5ms Ro (10 + 10) 4. 根据三要素公式写出电感电流的表达式 iL (t ) = [0.5 (1)]e 200 t A 1A = (1.5e 200 t 1)A (t ≥ 0 ) 此题说明如何用三要素法来计算含有阶跃电压源和阶 跃电流源的电。 跃电流源的电。 阶跃函数还可以用来表示时间上分段恒定的电压或电 流,例如图 所示方波电压, 流,例如图6-33(a)所示方波电压,可以用图 所 所示方波电压 可以用图(b)所 示两个阶跃电压源来表示;图(c)所示方波电流, 示两个阶跃电压源来表示; 所示方波电流, 所示方波电流 可以用图(d)所示两个阶跃电流源并联来表示。 可以用图 所示两个阶跃电流源并联来表示。对于线性电 所示两个阶跃电流源并联来表示 来说, 来说,这种表示方法的好处在于可以应用叠加来计 算电的零状态响应,在此基础上,采用积分的方法还可 算电的零状态响应,阶梯函数在此基础上, 以求出电在任意波形激励时的零状态响应 图6-33 用阶跃电流源表示图6-33(b)所示的方波电流,再次 所示的方波电流, 例6-15 用阶跃电流源表示图 所示的方波电流 求解电中电感电流的响应,并画出波形曲线。 求解电中电感电流的响应,并画出波形曲线 所示的方波电流, 解:图(b)所示的方波电流,可以用两个阶跃函数 所示的方波电流 iS(t)=[10ε (t)-10ε (t-1ms)]mA 表示。 表示。 由于该电是线性电,根据动态电的叠加, 由于该电是线性电,根据动态电的叠加, 其零状态响应等于10 和 其零状态响应等于 ε(t)和-10ε (t-1ms)两个阶跃电源单独作 两个阶跃电源单独作 用引起零状态响应之和。 用引起零状态响应之和。 1. 阶跃电流源 ε(t)mA单独作用时,其响应为 阶跃电流源10 单独作用时,阶梯函数 单独作用时 i L ( t ) = 10 (1 e 1000 t ) ε ( t ) mA 2. 阶跃电流源 ε(t-1ms)mA单独作用时,其响应为 阶跃电流源-10 单独作用时, 单独作用时 iL (t ) = 10[1 e1000(t 1ms) ]ε (t 1ms) mA 3. 应用叠加求得 ε(t)和-10ε(t-1ms)共同作用的零 应用叠加求得10 和 共同作用的零 状态响应为 iL (t ) = iL (t ) + iL (t ) = {10(1 e 1000t )ε (t ) 10[1 e 1000(t 1ms ) ]ε (t 1ms)} mA 分别画出 iL (t ) 和 iL (t ) 的波形, 的波形, 如曲线和 所示 所示。 如曲线所示。然后它们相加得 波形曲线, 所示。 到iL(t)波形曲线,如曲线 二、阶跃响应 单位阶跃作用下电的零状态响应, 单位阶跃作用下电的零状态响应,称为电的 阶跃响应,用符 表示 表示。 阶跃响应,用符s(t)表示。 它可以利用三要素法计算出来。对于图 所示 所示RC 它可以利用三要素法计算出来。对于图(a)所示 电,其初始值 电,其初始值uC(0+)=0,稳态值 C(∞)=1,时间为 ,稳态值u ∞ , τ=RC。用三要素公式得到电容电压 C(t)的阶跃响应如下所 。用三要素公式得到电容电压u 的阶跃响应如下所 所示RL并联电 示。对于图(b)所示 并联电,其初始值 L(0+)=0,稳态 对于图 所示 并联电,其初始值i , 值iL(∞)=1,时间为τ=L/R。 ∞ , 。 利用三要素公式得到电感电流i 的阶跃响应如下所示 的阶跃响应如下所示。 利用三要素公式得到电感电流 L(t)的阶跃响应如下所示。 图6-35 s ( t ) = (1 e t RC )ε ( t ) s ( t ) = (1 e R t L )ε ( t ) 以上两个式子可以用一个表达式表示如下: 以上两个式子可以用一个表达式表示如下: s ( t ) = (1 e t τ )ε ( t ) ( 6 27 ) 其中时间τ=RC或τ=L/R。 或 。 已知电的阶跃响应, 已知电的阶跃响应,利用叠加容易求得在任意 分段恒定激励下线性时不变电的零状态响应, 分段恒定激励下线性时不变电的零状态响应,例如 所示作用图6-36(a)所示 电时,由于 所示RC电时 图6-36(b)所示作用图 所示作用图 所示 电时, 图(b)所示可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信 所示可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信 的叠加。 的叠加。 图6-36 图6-36 RC电在分段恒定激励下的零状态响应 - 电在分段恒定激励下的零状态响应 u S ( t ) = ε ( t ) + 2 ε ( t t 1 ) 4 ε ( t t 2 ) + 3ε ( t t 3 ) 2 ε ( t t 4 ) 其电容电压u 的零状态响应可以表示为 其电容电压 C(t)的零状态响应可以表示为 u C (t ) = s (t ) + 2 s (t t1 ) 4 s (t t 2 ) + 3 s (t t 3 ) 2 s (t t 4 ) 其中 s ( t ) = (1 e t RC )ε ( t ) t t2 RC t t4 RC s ( t t 1 ) = (1 e )ε ( t t 2 ) )ε ( t t 4 ) s ( t t 3 ) = (1 e t t1 RC t t3 RC )ε ( t t 1 ) )ε ( t t 3 ) s ( t t 2 ) = (1 e s ( t t 4 ) = (1 e 例6-16 图6-37(a)是RC分压器的电模型,试求输出电压 是 分压器的电模型, 分压器的电模型 uC2(t)的阶跃响应。 的阶跃响应。 的阶跃响应 图6-37 RC分压器的电模型 - 分压器的电模型 所示电中的电压源用短代替后, 解:由于将图(a)所示电中的电压源用短代替后,电容 由于将图 所示电中的电压源用短代替后 C1 和C2并联等效于一个电容,说明该电是一阶电 并联等效于一个电容, ,其时间为 R1 R2 τ = RoCo = (C1 + C2 ) R1 + R2 现在计算初始值u 现在计算初始值 C2(0+)。在t0时,ε(t)=0,电处于 。 时 , 零状态,uC1(0-)=uC2(0-)=0。在t=0+时刻,两个电容电压应 零状态, 。 时刻, 该满足以下KVL方程 方程 该满足以下 uC1 (0 + ) + uC 2 (0 + ) = 1V 上式说明电容电压的初始值要发生跃变。 上式说明电容电压的初始值要发生跃变。为了计算出 uC2(0+),需要应用电荷守恒定律,即在跃变的瞬间一个结 电荷守恒定律, ,需要应用电荷守恒定律 点的各电容总电荷量保持恒定(此例中总电荷为零 此例中总电荷为零), 点的各电容总电荷量保持恒定 此例中总电荷为零 ,由此 得到以下方程 C1uC1 (0 + ) + C2 uC 2 (0 + ) = 0 由以上两个方程求解方程得到 C1 uC 2 ( 0 + ) = × 1V C1 + C 2 电压源激励的一阶电, 在t0时,该电是由 电压源激励的一阶电,可 时 该电是由1V电压源激励的一阶电 以用三要素法计算。 →∞电达到直流稳态时, →∞电达到直流稳态时 以用三要素法计算。当t→∞电达到直流稳态时,电容相 当开, 当开,输出电压的稳态值为 R2 uC 2 ( ∞ ) = × 1V R1 + R2 用三要素公式得到输出电压的表达式为 R2 C1 R2 u C 2 (t ) = + C +C R + R 2 1 2 R1 + R2 1 τt e ε ( t ) V 由上可见, 由上可见,输出电压的稳态分量由两个电阻的比值确 定,其暂态分量还与两个电容的比值有关。我们改变电容 其暂态分量还与两个电容的比值有关。 C1可以得到三种情况: 可以得到三种情况: 暂态分量为零, 当R1C1=R2C2时,暂态分量为零,输出电压马上达到 稳态值,这种情况称为完全补偿; 稳态值,这种情况称为完全补偿; 暂态分量不为零, 当R1C1R2C2或R1C1R2C2时,暂态分量不为零,输出 电压要经过一段时间才达到稳态值,前者称为欠补偿, 电压要经过一段时间才达到稳态值,前者称为欠补偿,后 者称为过补偿。 者称为过补偿。

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